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A che cosa serve il calcolo letterale

creato da Giancarlo Cavagna ultima modifica 19/09/2011 16:49
Pagina estratta dal documento: http://www.matematica.it/paola/lezionipdf/calcolo1.pdf redatto dal prof. Domingo Paola: http://www.matematica.it/paola/

 

Le lettere per assegnare un nome: quando si parla di un punto, un segmento, un generico numero naturale, più in generale quando si parla di un oggetto matematico, può essere utile assegnare un nome a questo oggetto. Spesso in matematica si usano le lettere dell'alfabeto per assegnare nomi agli oggetti del discorso. Così, per esempio, per parlare di un generico numero naturale si può usare la lettera n, oppure x, o un'altra lettera dell'alfabeto.

Le lettere per esprimere schemi di calcolo: la scrittura 2*x+3 può essere letta come uno schema di calcolo, ossia l'indicazione delle operazioni che si chiedono di effettuare su un qualsiasi numero x. In questo caso lo schema indica di fare il doppio di x e di aggiungere 3 al risultato così ottenuto. È ovvio che il numero che si ottiene dopo tali operazioni dipende dal numero x o, come si dice anche in matematica, è funzione di x.

Le lettere per esprimere formule o relazioni tra schemi di calcolo: nella scuola media avrai sicuramente incontrato scritture del tipo A=b*h che, se b e h rappresentano, rispettivamente, la base e l'altezza di un rettangolo, si legge: "l'area di un rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della sua base per quella della sua altezza". Questa scrittura è una formula che indica come determinare l'area di un rettangolo, note le misure della sua base e della sua altezza o, analogamente, che precisa la relazione che esiste tra l'area di un rettangolo e le misure della sua base e della sua altezza. Nella scuola media avrai anche incontrato scritture del tipo a*(b+c)=a*b+a*c. Questa scrittura esprime quella che è nota come proprietà distributiva dellla moltiplicazione rispetto all'addizione (per moltiplicare una somma per un fattore è possibile moltiplicare ciascun addendo della somma per quel fattore e poi addizionare i risultati ottenuti).Questa scrittura può anche essere pensata come una relazione di uguaglianza tra due schemi di calcolo: 1) lo schema a*(b+c) 2) lo schema a*b+a*c. Esprimere un'uguaglianza tra questi due schemi equivale quindi ad affermare che, qualunque siano i numeri a e b che si considerino, il numero che si ottiene con lo schema 1) è lo stesso numero che si ottiene con lo schema 2).

Le lettere per risolvere problemi e per dimostrare: se ti chiedessero che cosa puoi dire della somma di due numeri dispari consecutivi rispetto alla divisibilità, potresti fare qualche prova e accorgerti che la somma di due numeri dispari consecutivi sembra essere divisibile per 4 (1 + 3; 3 + 5; 5 + 7 .... sono tutti divisibili per 4). Naturalmente, per quante prove tu possa fare, non ti sarà mai possibile verificare la tua affermazione (la somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di 4) per tutte le possibili coppie di numeri dispari consecutivi, dato che esse sono infinite. Il calcolo letterale consente di risolvere il problema e, al tempo stesso, di spiegare perché, comunque si prendano due numeri dispari onsecutivi, la loro somma è un multiplo di 4. Vedrai fra breve che un numero pari si può scrivere come 2*n. Ciò vuol dire che un numero dispari si può scrivere come 2*n+1. Allora due numeri dispari consecutivi possono scriversi come 2*n−1 e 2*n+1. Ebbene, la loro somma è 2*n−1 + 2*n+1. Il calcolo letterale consente di dire che questa somma può scriversi come 4*n, ossia è un multiplo di 4. Tutte le situazioni prese in esame e tutti gli esempi considerati suggeriscono che il calcolo letterale sia, in ogni caso, un potente strumento per generalizzare: esprimere proprietà generali (con formule e uguaglianze tra schemi di calcolo) o spiegare perché un'ipotesi che abbiamo fatto funziona in generale e non solo nei casi particolari considerati.